齿轮

01

摩擦轮：一次失败的开端

上面这四步，就是这个机构的全部秘密。接下来的十几章，我们把每一格放大来看。

看这个模拟的时候，请留意三件事。

第一，两个轮子的转向相反。外啮合的齿轮永远是反向的——这不是设计选择，是几何必然。第二，两个轮子的转速之比，恰好等于齿数的反比。第三，从动轮转一圈，主动轮必然转过 N₂/N₁ 圈，精确到最后一个齿。

最后一条滑杆值得多拖几次。把中心距拉大，两轮之间出现肉眼可见的空隙，这就是齿隙（backlash）——它让轮齿在换向时先空转一小段再咬合，是精密传动里最讨厌的东西之一。把中心距压小，轮齿开始互相侵入，模拟里看着像是穿模，现实里则是巨大的噪音、发热和断齿。

02

传动比是算术

一旦齿数锁定了几何关系，传动比就退化成一道小学算术题。设主动轮有 Z₁ 个齿，从动轮有 Z₂ 个齿，主动轮转过一个齿距，从动轮也必须转过一个齿距（因为齿是一一咬合的）。于是：

负号表示反向。习惯上把"传动比"定义成输入与输出之比，写成 i = Z₂ / Z₁，i > 1 就是减速。减速听起来像是损失，其实恰恰相反：功率守恒（P = Tω）意味着转速降多少，扭矩就涨多少。电机转速太高、扭矩太小，齿轮箱就是那个把"快而无力"换成"慢而有劲"的装置。

拿一个具体的例子：一台 3000 转/分的电机，配一套 i = 10 的减速箱，输出轴就是 300 转/分，理想情况下扭矩放大 10 倍。真实情况要打个折扣——每级齿轮的效率大约 97%–99%，十级串下来就只剩八九成了。

单级传动比不能无限大，原因很朴素：齿数少的那个轮子，齿会变得又薄又尖，根切、弯曲强度、噪声全部恶化。所以工程上宁可多级串联——这正是第 7 章要讲的齿轮系。

03

扭矩：减速为什么变"有劲"

第 2 章留了一句话没有解释：减速的同时扭矩被放大。扭矩到底是什么，为什么会被放大——这一章补上。

拿扳手去拧一颗锈住的螺母。你会发现，握在靠近螺栓的地方怎么都拧不动，握到柄的末端就轻松得多。同样的力气，作用点离轴越远，转动的效果越强。

这就是扭矩：力 × 力臂。但有两个细节，缺一不可。

第一，只有垂直于力臂的那一部分力才产生扭矩。你沿着扳手柄的方向往里推，无论使多大劲，螺母纹丝不动——那部分力直指轴心，力臂是零。

把力分解成切向分量 F_t = F·sinφ 与径向分量 F_r = F·cosφ，只有前者算数：

第二，这个式子还有另一种读法。与其把力分解，不如换一个圆：找一个与力的作用线相切、圆心仍在轴上的圆，它的半径是 r_t = r·sinφ。于是：

两种读法完全等价——一个分解力，一个换力臂。第二种读法看着多余，但下一章会救我们一次。

把扭矩传出去

现在回到两个摩擦轮。输入轮上作用着扭矩 T₁，它在接触点产生一个切向力 F = T₁/r₁。这个力原封不动地作用在输出轮的接触点上，于是输出扭矩 T₂ = F·r₂。

两式联立：

一个是正比，一个是反比——正好互为倒数。

所以"减速增扭"不是什么附加功能，它就是同一件事的两面：接触点的力是同一个，你只是选择让它作用在更长的力臂上。把两式相乘：

这就是功率守恒。齿轮箱不产生能量，它只是把"快而无力"重新分配成"慢而有劲"。任何声称既能提速又能增扭的装置，都在骗你。

顺带说，摩擦轮有一个硬上限：能传的力不能超过 μN。想要更大的扭矩，只能压得更紧、或者换摩擦系数更高的材料。齿轮没有这个限制——齿是靠几何形状硬顶住的，不靠摩擦。这才是第 1 章那个问题的真正答案。

把摩擦轮换成齿轮，推导一字不改，只是半径换成齿数：T₂/T₁ = N₂/N₁。

力斜了，扭矩比会变吗

不过齿轮还有一处和摩擦轮不同：接触力并不沿着切线，而是沿着公法线——它和公切线之间夹着一个压力角 α。力"斜"了，力臂不就变了吗？

用第二种读法，一眼就能看出来：与力线相切的那个圆，半径从 r 变成了 r·cos α。两个轮都乘上了同一个因子：

cos α 被约掉了。所以压力角取 14.5°、20° 还是 25°，只要两个轮一致，扭矩比就只由半径（也就是齿数）决定。这既解释了压力角为什么能被标准化，也说明下一章那条"公法线必须过节点"的定律，同时管住了速度和扭矩两件事。

04

一条关于齿形的定律

到目前为止，我们只关心了"转过多少齿"，没有关心齿本身长什么样。但只要你在纸上画两个方块齿咬在一起，就会发现一个麻烦：转起来以后，传动比不是恒定的。

设想主动轮以匀速转，从动轮却在某几个瞬间快一点、某几个瞬间慢一点。这种忽快忽慢在低速时表现为抖动，在高速时表现为冲击和噪音，最终表现为齿面点蚀和断裂。要让传动"顺"，必须让传动比在任何瞬间都相等——不是平均值相等，是瞬时值相等。

这引出了齿轮学里最基本的一条约束，通常叫齿廓啮合基本定律：两齿廓在接触点处的公法线，必须通过连心线上的一个定点。这个定点叫节点，它把连心线分成 r₁ : r₂ 的两段，正好等于两轮的传动比。

换一种更物理的说法：两个齿面在接触点上，沿公法线方向的速度分量必须相等（否则它们会互相穿入或脱离），而沿切线方向的速度分量可以不同（那就是"滑动"）。只要公法线始终过同一个定点，瞬时传动比就恒定。

这句话听起来像一句宣言。但它是可以被测量的——扭矩就是从这里来的。接触力沿公法线传递，它对两个轮的力臂，分别是轴心到这条线的垂距 d₁ 和 d₂。瞬时扭矩比就是 d₂/d₁，而传动比是它的倒数。

模拟里的数字值得盯一下：法线只要偏离节点 18°，瞬时传动比就在 1.08 到 2.13 之间来回摆——这不是"轻微误差"，而是每秒几十次的冲击。这样的齿轮转起来，齿面会被自己撞碎。

把这句话写成式子

前面那一大段，其实四行就写完了。

在某一个接触点 P，两个齿面上重合的那一点各自有一个速度：主动轮上是 ω₁ 乘以 P 到轴心 C₁ 的距离，方向垂直于 C₁P。它沿公法线 n 的分量，只取决于轴心到这条线的垂距 d₁：

两个齿面不能互相穿进去，也不能分离开，所以这两个分量必须相等：

瞬时传动比，就是两条力臂的比值。而"公法线过节点"这个条件，恰好让这条线在两个分度圆上切出固定的垂距 d₁ = r₁·cosα、d₂ = r₂·cosα，比值自然恒定：

注意这里的 d₁、d₂ 和第 3 章扭矩那段是同一对垂距——同一条线，同时决定了速度和扭矩。压力角带来的 cos α 在两处都被约掉，这不是巧合：速度和扭矩本来就由同一个力臂决定。

对于一个确定的齿形，这条定律会自动产生一条直线：所有接触点的轨迹都落在它上面。这条线叫作用线，也叫啮合线。

作用线同时也是力的方向。两个齿面之间只能沿公法线方向推，所以齿轮传递的力就沿着这条线走。它与节圆公切线之间的夹角，就是压力角 α，标准值是 20°。

最后一个读数是重合度 ε：作用线上实际参与啮合的那一段长度，除以基圆齿距。ε = 1.58 的意思是，平均有 1.58 对齿同时接触——也就是"一对齿在传力的时候，下一对已经咬上了，上一对还没完全退出"。这个重叠是齿轮传动平稳的根本原因。ε 小于 1 的齿轮不能连续传动，每换一对齿都会有一次撞击。

05

渐开线

现在问题变成了：什么曲线，才能让所有接触点的公法线都过同一个定点？

答案在 18 世纪就被找到了，而且答案简单得有点意外。取一个圆，把一根没有弹性的线绕在圆上，线头系一支笔，然后把线拉紧、慢慢展开。笔尖描出来的曲线叫渐开线，那个圆叫基圆。

这条曲线有两个关键性质。

第一，曲线上任意一点的法线，都切于基圆。这不是巧合：绷紧的线永远垂直于它缠绕的那个圆，而线本身又是曲线在该点处的法线（因为它绕点旋转时描出曲线，瞬时旋转中心在切点上）。

第二，所有法线都是同一族切于基圆的直线。把两个渐开线齿轮装在一起，两齿廓在接触点的公法线，就是这两条"绷紧的线"——它们同时切于两个基圆。两条内公切线的交点是一个固定点，这个点就是节点。

于是：渐开线自动满足啮合基本定律，不需要任何额外设计。这就是它被全世界选中的唯一理由。换任何别的曲线，你都得为每一个转角重新校验传动比，而渐开线替你把这件事一次性解决了。

它的数学形式也很简洁。设参数 φ 为"线已经展开的角度"，那么曲线上半径 ρ 与极角 θ 满足：

工程上习惯把后半句记成一个专门的函数，叫渐开线函数：inv α = tan α − α（α 为该半径处的压力角）。齿轮设计手册里几乎每一页都会出现它。

顺带一提，渐开线还有一个非常实用的性质：中心距可分性。两个渐开线齿轮即使把中心距拉开一点，传动比依然精确不变——因为渐开线的形状不依赖于中心距，只依赖于基圆。这让齿轮箱的装配公差、轴承磨损、热膨胀都变得可以容忍。换成摆线齿廓就没有这个好处。

06

压力角的代价

压力角不是一个可以随便挑的数字，它是一个权衡。

角越大，齿根越厚、齿形越"墩实"，能承受的弯曲应力越高；但力会更多地偏离切线方向，产生更大的径向分力（约 F·tan α），把轴往轴承里推，同时重合度下降、传动变得更"硬"。

角越小，力的方向更接近切线，传动更平稳、重合度更高、噪音更低；但齿根变薄，而且更容易根切——用小齿数时，刀具会把齿根处的渐开线整个切掉。

历史正好走了这条路：19 世纪的标准是 14.5°，因为它模仿了当时常用的"摆线齿"的手感；20 世纪上半叶，随着钢材和热处理进步，20° 成了全世界的事实标准；到了重载场合（矿山、风电、船舶），25° 甚至更大的压力角开始普及，因为强度比平稳更值钱。

回到上面那个作用线的模拟，把 α 从 14.5° 拖到 25°，你会看到作用线一路倾斜过去，同时重合度从接近 2 掉到 1.3 左右。这就是那笔交易的具体价格。

07

滑动与磨损

渐开线解决了"传动比恒定"，但没有解决"齿面互相摩擦"。事实上，除了节点这一个瞬间，两个齿面之间永远在滑动。

原因很直接：在节点处，两轮的分度圆相切，速度大小方向都相同，是纯滚动；离开节点之后，接触点到两个轮心的距离不再等于半径，两个齿面在该点的线速度虽然法向分量相同，切向分量却不同。差值就是滑动速度，它正比于接触点到节点的距离。

这条 V 形曲线解释了很多工程细节。

为什么齿面要淬硬、要磨削？因为滑动带来的磨损集中在齿根和齿顶附近——也就是 V 的两端。为什么齿轮要喷油润滑？因为滑动会产生热量和金属直接接触。为什么要用极压添加剂？因为在高压高速下，油膜会被挤破，得靠化学膜顶着。

为什么斜齿轮比直齿安静？因为直齿轮是"整条齿宽同时进入啮合"，冲击是一次性的；斜齿轮的接触线是斜的，从一端逐渐过渡到另一端，冲击被摊平了。代价是产生轴向力，轴承要能扛住。

还有一个数字值得记住：一对普通直齿圆柱齿轮的单级效率大约 98%。听起来很高，但三级串联就是 94%，六级就是 89%。这就是为什么变速箱的级数不能无限加。

08

齿轮系

单级传动比受限于齿数，所以真实的机器都是多级串联的。规则简单到可以用一句话记住：总传动比等于各级传动比的乘积。

这里面有一个容易被忽略的细节：中间轮只改变方向，不改变传动比。如果一串齿轮 A-B-C，B 同时和 A、C 啮合，那么 i = (Z_B/Z_A)×(Z_C/Z_B) = Z_C/Z_A——B 的齿数被约掉了。这种轮叫惰轮，它唯一的作用是把转向翻回来，或者把轴挪到够得着的位置。

还有两个工程上的词值得知道。

回差（backlash）：所有齿轮都必须留一点齿隙，否则会卡死。但齿隙意味着换向时输出轴会先空转一个小角度。对机床、机器人、天文望远镜这类需要双向精度的设备，回差是头号敌人，要靠预紧、双片齿轮或者消隙机构解决。

扭矩放大：减速的同时扭矩被放大。这不是免费的——它来自功率守恒，也来自齿面承受的力变大。所以减速箱的最后一级往往齿宽最大、材料最好，因为它扛着全部扭矩。

一个漂亮但错误的画法

最后说一个反例。你大概在不少插画、LOGO、甚至产品包装上见过这样的图案：三个齿轮摆成一个三角形，两两咬合。它看起来非常"机械"、非常合理。

但它转不起来。

数学上很直白：每对啮合都给出一个相位方程，三角形有三条边，就有三个方程；但三个刚体的转角只有三个自由度，其中 A 是被驱动的，剩下两个自由度对上三个方程——超定，一般无解。

所以看到"三齿轮两两啮合"的图，你可以确定：画它的人没装过齿轮。

09

齿条与齿圈

把齿轮的半径越做越大，它的分度圆就越来越平。当半径趋于无穷大时，圆变成了直线，齿轮就变成了齿条。

齿条的齿廓不再是渐开线，而是直线——这是渐开线在半径无穷大时的极限。压角依然是 20°，只不过"渐开线"这个说法退化成了"斜直线"。这也是为什么齿条加工起来特别容易：用一把直线刃的刀具来回刨，就能切出精确的齿形。

齿条传动随处可见：汽车的齿轮齿条转向机、机床的进给轴、千斤顶、卷帘门。它比"丝杠"粗糙，但便宜、快、能承受冲击。

反过来，把齿做在圆环的内侧，就得到了内齿圈。它的分度圆半径是"负"的：小齿轮在圈里面转，两者转向相同（而不是相反）。内啮合的重合度更大、结构更紧凑，是行星齿轮的基础零件。

10

行星齿轮

到这里，前面所有的零件可以拼成一台真正精巧的机器了。中心一个太阳轮，外面套一个内齿圈，中间夹着几个行星轮，它们被一个行星架连在一起。

这台机器有三个可以转的部件：太阳轮、行星架、齿圈。你固定其中一个，另外两个之间的传动比就确定了；而固定不同的那个，会得到完全不同的传动比和转向。

三个部件的速度并不是互相独立的，它们被一条关系式锁在一起：

这条式子只用了两个齿数，却描述了整个机构。固定齿圈（ω_r = 0），代入得 ω_s/ω_c = 1 + Z_r/Z_s——就是模拟里那个"齿圈固定时 = 1 + Zr/Zs"。

行星齿轮的好处是结构上的：同轴输入输出（不需要偏心轴）、载荷分流（三个行星轮平分扭矩，每个齿只承受三分之一）、体积小。缺点是零件多、装配精度要求高、低速时效率略低。

所以你会在这些地方看到它：汽车自动变速器（几组行星排串联，靠离合器切换固定件，就能得到四五个前进挡）、电动车的轮边减速器、机器人关节、风力发电机的偏航驱动。同一套齿，只是换了"固定谁"。

11

斜齿轮：把齿拧一下

到这里为止，我们讲的全是直齿圆柱齿轮——齿平行于轴，两轮一咬，整条齿宽同时进入接触。优点是简单，缺点是吵。

吵闹的根源在"同时"。直齿轮在啮合的瞬间，整条齿宽一起撞上去，然后一起离开。冲击是阶跃式的，声音是宽频的。而且直齿轮的重合度受齿顶高限制，20° 压力角下通常只有 1.4–1.8，很难再高——因为要再高就得把齿做得更长，而齿越长越容易干涉。

斜齿轮的解法很巧妙：把齿沿着一条螺旋线拧一个角度。齿不再是平行于轴的直条，而是一段螺旋。两个斜齿轮啮合时，接触不是"整条齿宽同时发生"，而是从齿的一端开始，沿着螺旋线逐渐扫到另一端。

这带来一个额外的好处：重合度可以被"叠"出来。端面重合度 εα 之外，还多出一个轴向重合度：

b 是齿宽，p 是齿距。换句话说，齿越宽、螺旋角越大，同时接触的齿对就越多。普通斜齿轮的 εγ 可以到 3 甚至 4，这正是它比直齿轮安静、平稳、承载能力更高的原因。

代价是轴向力。因为力垂直于螺旋面，斜齿轮在工作时会受到一个沿轴向的推力 F_a ≈ F_t·tanβ。因为力垂直于螺旋面，切向力 F_t 会被分解出一份轴向分量。把螺旋面展开成斜面就一目了然：斜面的倾角是 β，所以： F_a = F_t · tanβ　　　ε_β = b · tanβ / p β = 30° 时，轴向力已经接近切向力的 60%，轴承必须专门扛住它。工程上的对策是人字齿：把两段旋向相反的斜齿拼在一根轴上，两个轴向力互相抵消，只剩下中间一个退刀槽。船用减速箱里那种又宽又厚的齿轮，多半是人字齿。

斜齿轮还顺手解决了第 5 章留下的根切问题。因为斜齿轮的齿是"斜着被切"的，它在垂直于齿的截面里显得更"胖"，当量齿数 Z_v = Z / cos³β 明显大于实际齿数。所以同样的 14 个齿，做成 β = 20° 的斜齿，当量齿数就有 17 个，根切的风险大大降低。

12

蜗轮蜗杆：交叉的两根轴

前面所有的齿轮，两根轴都是平行的。如果两根轴要交叉 90°，同时又要一个大速比，最省事的答案就是蜗轮蜗杆。

蜗杆本质上是一根带螺旋齿的螺杆——你可以把它想成"只有一两个齿、但连续不断地螺旋下去"的齿轮。蜗轮则是一个普通的斜齿齿轮，被蜗杆从侧面咬着。

传动比的算式简单到不像话：

Z₁ 是蜗杆的头数（螺旋线的条数，通常 1–4），Z₂ 是蜗轮的齿数。一头蜗杆配 40 齿蜗轮，一级就是 1:40——这是直齿轮想都不敢想的数字，直齿单级超过 1:8 就开始变得又大又笨。

但天下没有白拿的速比。蜗轮蜗杆的齿面之间是大比例滑动，不像直齿轮那样接近纯滚动。滑动意味着摩擦、发热和磨损，所以它的效率明显偏低：单头蜗杆大约 0.4–0.7，多头能到 0.8。剩下那部分功率，基本都变成了热。这也是为什么蜗轮蜗杆减速机总是铸着厚厚的散热筋，有的还要加风扇或油冷。

低效率带来一个意外的礼物：自锁。当螺旋的导程角 λ 小于齿面间的摩擦角 ρ（约 5°–6°）时，反向传动就转不动了——你只能用蜗杆带动蜗轮，没法用蜗轮倒推蜗杆。卷扬机、电梯、起重设备靠它防止重物自由下落。导程角由头数和蜗杆的直径决定：tan λ = Z₁ / q，q 是蜗杆的直径系数（分度圆直径与模数之比）。

把滑杆拖到 q 很小、头数又只有 1，λ 就掉到摩擦角以下，右侧的判定会变成"可自锁"；反过来，多头加粗蜗杆，λ 变大，效率上去了，自锁也没了。这个此消彼长，就是蜗轮蜗杆设计的全部张力所在。

13

制造：刀具说了算

前面十一章，我们一直在"画"齿轮：给定齿数、模数、压力角，用渐开线公式算出轮廓。但真实的齿轮不是画出来的，是切出来的。而"怎么切"这件事，反过来决定了齿根长什么样。

两种工艺。第一种是成形法：用一把形状就是齿槽形状的铣刀，一个齿槽一个齿槽地铣过去。简单，但一把刀只能对应一种齿数——因为不同齿数的渐开线曲率不同。

第二种是展成法，也叫范成法：让刀具和轮坯像一对齿轮那样做啮合运动，一边转一边切。滚齿、插齿、刨齿都属于这一类。它的妙处在于，同一把齿条刀可以加工任意齿数——因为齿条是"半径无穷大的齿轮"，而无穷大对谁都一样。这也是为什么全世界的齿轮都能互换：大家用的是同一套标准齿条。

但展成法有一个副作用。齿数太少的时候，刀具的齿顶会切进齿根的渐开线部分——这就是根切。

为什么会根切？因为渐开线只在基圆之外存在。齿数越少，基圆相对分度圆越小，渐开线的起点就越靠近齿根。当齿数少到一定程度，刀具的齿顶在切到齿根时，轨迹已经越过了基圆——它没有渐开线可切了，只能把已经切好的那部分齿根再啃掉一块。

临界条件可以精确地算。齿条刀的齿顶线离分度线的高度是 h·m，它与啮合线的交点到节点的距离是 h·m / sinα；而基圆的切点到节点的距离是 r·sinα。根切刚好发生，就是这两个距离相等：

代入标准齿顶高 h = 1、分度圆半径 r = mZ/2，两边约掉 m，就得到 20° 压力角下的最小齿数：

这解释了第 5 章那句"少于 17 个齿会根切"的来历。根切的后果很实在：齿根变薄（弯曲强度下降）、重合度变小、传动平稳性变差。

工程上的对策是变位：把刀具从轮心往外挪一段距离 x·m（x 就是变位系数），齿根就不会被啃到。代价是齿顶也会跟着长高，齿厚变化，中心距可能需要重新配。不根切所需的最小变位系数是：

代入 Z = 12：x_min ≈ 0.30。所以模拟里把变位推到 +0.5，就稳稳地躲开了根切——同时齿变厚，承载能力反而更高。这就是为什么小齿数的齿轮几乎都是变位齿轮。

14

尾声

回头看，齿轮的故事其实只有一条主线：把"靠摩擦的、不确定的接触"，换成"靠几何的、精确的约束"。

摩擦轮给出传动比，但只在理想状态下成立。齿把这份约定变成了刚性的：齿数决定传动比，渐开线保证瞬时传动比恒定，压力角决定力的方向，重合度决定平稳程度，模数决定尺寸能不能互换。每一个几何参数背后，都站着一个工程上的权衡。

今天的设计师已经很少手算渐开线了。软件会自动生成齿廓、自动修形（把齿顶稍微削掉一点，避免边缘接触）、自动校核接触应力和弯曲应力。但所有那些算法，跑的还是 18 世纪那条绷紧的线所定义的曲线。

这也是我想用可拖动的模拟来讲它的原因：齿轮的每个参数都不是孤立的数字，你把滑杆推过去，整个机构就跟着变了。理解了这层联动，比记住任何一条公式都有用。

延伸

如果你想继续往下走，可以看看：变位齿轮与根切的计算、斜齿轮的当量齿数、蜗轮蜗杆的自锁条件、以及齿轮的接触疲劳（点蚀）与弯曲疲劳（断齿）两种失效模式——它们分别对应齿面应力和齿根应力的设计准则。